Capitalización y actualización simple

Interés simple vencido

Capitalización a interés simple vencido

Esta fórmula se aplica para conocer el capital final (Ct) que obtendremos al consignar una cantidad a un interés y tiempo conocido.

En una operación de capitalización a interés simple vencido el precio total o intereses se corresponde a Co·i·t, de forma que el capital final que se obtiene es:

capital final

(1 + i·t) = factor de capitalización

La fórmula del interés simple vencido normalmente se emplea en operaciones a corto plazo.

grafico capitalizacion interes simple vencido

Ejemplo:

Un cliente invierte 50.000 € en un depósito a tres meses (91 días), que ofrece un interés anual del 0,30 %. El capital que percibirá al final del plazo será:

El factor de capitalización a 91 días y al 8% es

factor capitalizacion a 91 dias 8 por ciento

El capital final resulta

 

Ejemplo:

En una cuenta bancaría remunerada al 1,5% anual, y que se paga sobre el saldo medio diario  de cada trimestre, constan los siguientes movimientos del último trimestre

interés en cuenta importe medio trimestral

Para realizar la liquidación trimestral de intereses de esta cuenta corriente a fecha 30 de junio, en primer lugar, se procederá a calcular el saldo medio diario (acreedor en este caso) del trimestre:

saldo medio diario en cuenta bancaria

Cada uno de los términos de la suma del numerador de esta expresión se conoce con el nombre de números comerciales (acreedores en este caso). Los intereses de la cuenta corriente se calcularán como si ésta hubiese mantenido un saldo medio constante de 5.645,06€ durante los 91 días del trimestre. De esta manera, los intereses brutos se calcularían:

intereses brutos sin irpf

Estos intereses brutos, menos la retención fiscal correspondiente, se acumularán al saldo de 4.761,32 € y determinarán el saldo inicial para el siguiente trimestre.

En el caso de que aparecieran saldos negativos (deudores) durante el periodo de liquidación de intereses, deberían calcularse por separado los saldos medios acreedores y deudores, aplicando a cada uno de ellos el tipo de interés correspondiente, que suele ser distinto.

Ejemplo:

en la misma cuenta y extracto bancario del ejemplo anterior y suponiendo que se paga el interés por tramos según:

la liquidación de intereses por tramos se realizaría de la siguiente forma:

Por lo tanto, los intereses totales brutos del trimestre serían:

0 + 3,74 + 9,89 = 13,63€

Si se quisiera saber el tanto de interés nominal que, por el saldo medio de 5.645,06€, se ha obtenido en dicha cuenta corriente durante este trimestre, procederíamos de la forma siguiente:

 despejando el interés nominal i, obtenemos

i = 0,00968 = 0,968%

Actualización a interés simple vencido

Esta fórmula se aplica en casos en los que se desea saber el capital inicial (Co) al que denominamos valor efectivo que tenemos que aportar, para que a un conocido interés y durante un tiempo determinado, obtengamos un capital final, Ct al que denominanos valor nominal

Para operaciónes de actualización, se denominará descuento matemático o racional, obteniendo el capital que se descuenta.

La fórmula es la misma que la anterior solo que despejamos el capital inicial o valor efectivo: Co

formula capital descontado

El esquema es

esquema a actualizacion a interés simple vencido

factor descontado o actualización = 1/(1 + i·t)

Co = Ct · Factor de actualización

El descuento matemático se utiliza, por ejemplo, en la valoración de las Letras del Tesoro que vencen en un plazo inferior a un año natural. Debe tenerse en cuenta que, en el mercado primario, el plazo temporal de inversión en la valoración de Letras del Tesoro, se obtiene utilizando base o criterio Act/360.

Ejemplo: precio de Letras del Tesoro

En una subasta de Letras del Tesoro a 12 meses, con vencimiento a los 364 días, se establece un interés anual medio ponderado del 1,842%.

Para calcular el precio medio de adquisición de una Letra del Tesoro actualizaremos su valor nominal, 1.000 €, al 1,842 % de descuento matemático durante 364 días. O dicho de otra manera, el capital que debe colocar un inversor en régimen de interés simple a un interés del 1,842% para obtener 1.000€ al cabo de 364 días, que es:

dónde al despejar Co = 981,72 euros

El esquema resultante es:

 

El factor de descuento = 0,981716

Este valor de 0,981716 significa que 1 € disponible al cabo de 364 días es equivalente a 0,981716 € de hoy. Conociendo el factor de actualización se determina que por una Letra de nominal 1.000 € se debe pagar hoy:

1.000 ∙ 0,981716 = 981,72€

La expresión del interés simple vencido o del descuento matemático también es válida cuando el tipo de interés es negativo.

Ejemplo: tipo de interés de Letras del Tesoro

En una subasta de Letras del Tesoro a 6 meses, con vencimiento a los 175 días, el precio medio resultante ha sido de 1.002,23€ por cada Letra.

Para calcular el tipo de interés medio al que ha resultado la adquisición de dicha Letra del Tesoro se aplicará la expresión del interés simple vencido o del des- cuento matemático:

ejemplo tipo de interés de letras del tesoro

Descuento simple comercial

Actualización a descuento simple comercial

En la operación de actualización a descuento simple comercial. El valor efectivo se calcula con la fórmula:

Co = Ct · ( 1 – d·t  )

( 1 – d·t  ) es el factor de descuento o actualización

El descuento simple comercial se usa habitualmente a corto plazo, y usando el criterio Act/360 para el cálculo en años.

Ejemplo:

Una empresa descuenta un efecto comercial de nominal 3.500 € y vencimiento a 62 días en una entidad bancaria, a una tasa de descuento del 8% anual. El efectivo que percibirá será:

ejemplo descuento actualizacion 8 por ciento

En este caso, el factor de actualización correspondiente sería:

factor descuento al 8 por ciento en tanto por uno

El valor de 0,986222 significa que cada euro disponible al cabo de 62 días es equivalente a 0,986222€ hoy. Por tanto, a partir del factor de descuento o actuali- zación, y con un sencillo producto obtendremos el valor efectivo o descontado a partir del valor nominal de 3.500€:

3.500 ∙ 0,986222 = 3.451,78€

Ejemplo: de comisiones en el descuento

Si en el descuento del efecto comercial del ejemplo anterior la entidad bancaria cobrase una comisión del 0,7% sobre el valor nominal, el valor efectivo que percibiría la empresa sería:

descuento con comisión bancaria tirón bancario

Si se quisiera saber el tanto de interés simple vencido al que resulta la operación de descuento del efecto, o dicho de otra manera, a qué tipo de interés simple vencido habría que colocar los 3.427,28€ para obtener a los 62 día el valor nominal de 3.500€, procederíamos de la forma siguiente:

descuento a 62 dias

despejando i = 0,12491 = 12,491 %

El interés simple que obtendría la entidad bancaria en la operación sería equivalente al coste que ha tenido la empresa con la operación de descuento.

Capitalización a descuento simple comercial: interés simple anticipado

El descuento simple comercial también puede utilizarse en operaciones de interés o capitalización, denominándose en tal caso interés simple anticipado.

Obsérvese que, si despejamos a partir de 𝐶o = 𝐶𝑡 ∙ (1 − 𝑑 ∙ 𝑡) y sustituimos la tasa de descuento d por una tasa de interés anticipado ia, se obtiene:

Ejemplo: préstamo a interés antincipado

Una empresa necesita 5.000€ para llevar a cabo un proyecto de inversión. Una entidad financiera le ofrece un préstamo al 6% nominal de interés anticipado, a devolver mediante un solo pago a los 8 meses. Desde el punto de vista de la entidad, el préstamo es una operación a interés simple anticipado.

Pero, ¿cuál será el nominal del préstamo que deberá solicitar la empresa para disponer hoy de los 5.000 €?

Obsérvese que, en el momento de conceder el préstamo, la entidad percibe unos intereses anticipados de:

Por lo tanto, la cantidad neta que recibe la empresa son los 5.000€ que necesita, es decir, el valor del préstamo 5.208,33€ menos los intereses pagados por antici- pado de 208,33€.

Puesto que, generalmente, el mercado ofrece tipos de interés vencidos, será in- teresante conocer, a efectos comparativos, cuál es la tasa de interés vencido equivalente a un interés anticipado para un plazo determinado.

En el ejemplo anterior, el interés simple vencido equivalente al que resulta la operación, se podrá calcular a partir del siguiente esquema:

Esto significa que, a un plazo de 8 meses, un 6% de interés simple anticipado es equivalente a un 6,25 % de interés simple vencido.

En general, el tanto de interés simple vencido, i, equivalente a un tanto de interés simple anticipado, ia, o tasa de descuento comercial, para un plazo temporal expresado en años, t es = 6,25%

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